Vyriešiť 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 3384 z oboch strán.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 7x^{2}+ax+bx-1128. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 10 súčtu.

$$a=-84 b=94$$

Zapíšte 7x^{2}+10x-1128 ako výraz \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

7x na prvej skupine a 94 v druhá skupina.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Vyberte spoločný člen x-12 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-12=0 a 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Odčítajte hodnotu 3384 od oboch strán rovnice.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Výsledkom odčítania čísla 3384 od seba samého bude 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 21 za a, 30 za b a -3384 za c.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Umocnite číslo 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo -84 číslom -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Prirátajte 900 ku 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-30±534}{42}, keď ± je plus. Prirátajte -30 ku 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Vydeľte číslo 504 číslom 42.

$$x=12$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-30±534}{42}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 534 od čísla -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Vykráťte zlomok \frac{-564}{42} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Vydeľte obe strany hodnotou 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Delenie číslom 21 ruší násobenie číslom 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Vykráťte zlomok \frac{30}{21} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Vykráťte zlomok \frac{3384}{21} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Číslo \frac{10}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{7}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{7}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{7} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Prirátajte \frac{1128}{7} ku \frac{25}{49} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Rozložte x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{7} od oboch strán rovnice.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$