Vyriešiť 3z^2+3z+20=0

$$3 z ^ { 2 } + 3 z + 20 = 0$$

Riešenie pre z

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+2,533114026i$$

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-2,533114026i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 3 za b a 20 za c.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 20}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 20.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 3}$$

Prirátajte 9 ku -240.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -231.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}$$

Vyriešte rovnicu z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku i\sqrt{231}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{231}i}{6}$$

Vydeľte číslo -3+i\sqrt{231} číslom 6.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Vyriešte rovnicu z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{231} od čísla -3.

$$z=\frac{-\sqrt{231}i-3}{6}$$

Vydeľte číslo -3-i\sqrt{231} číslom 6.

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Odčítajte hodnotu 20 od oboch strán rovnice.

$$3z^{2}+3z+20-20=-20$$

Výsledkom odčítania čísla 20 od seba samého bude 0.

$$3z^{2}+3z=-20$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3z^{2}+3z}{3}=-\frac{20}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$z^{2}+\frac{3}{3}z=-\frac{20}{3}$$

Vydeľte číslo 3 číslom 3.

$$z^{2}+z=-\frac{20}{3}$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$z^{2}+z+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{20}{3}+\frac{1}{4}$$

Prirátajte -\frac{20}{3} ku \frac{1}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{77}{12}$$

Rozložte z^{2}+z+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{77}{12}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77}{12}}$$

Zjednodušte.

$$z+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{231}i}{6} z+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{231}i}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$