Vyriešiť 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Riešenie pre x,y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$3x-y=2$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$3x=y+2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Dosaďte \frac{2+y}{3} za x v druhej rovnici 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Vynásobte číslo 2 číslom \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Prirátajte \frac{2y}{3} ku -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Odčítajte hodnotu \frac{4}{3} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Vynásobte obe strany hodnotou -3.

$$y=-5$$

V rovnici x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} dosaďte y za premennú -5. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku -\frac{5}{3} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-1$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=-5$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-1,y=-5$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Odčítajte rovnicu 2x-y=3 od rovnice 3x-y=2 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Prirátajte -y ku y. Členy -y a y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$3x-2x=2-3$$

Prirátajte 3x ku -2x.

$$x=2-3$$

Prirátajte 2 ku -3.

$$x=-1$$

V rovnici 2x-y=3 dosaďte x za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$-2-y=3$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$-y=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=-5$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=-5$$