Vyriešiť 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -8 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Prirátajte 64 ku 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Opak čísla -8 je 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 8 ku 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Vydeľte číslo 8+2\sqrt{19} číslom 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{19} od čísla 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Vydeľte číslo 8-2\sqrt{19} číslom 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Číslo -\frac{8}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{4}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{4}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{4}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku \frac{16}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Prirátajte \frac{4}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$