Vyriešiť 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx+84. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -32 súčtu.

$$a=-18 b=-14$$

Zapíšte 3x^{2}-32x+84 ako výraz \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

3x na prvej skupine a -14 v druhá skupina.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Vyberte spoločný člen x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-6=0 a 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -32 za b a 84 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Prirátajte 1024 ku -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Opak čísla -32 je 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{32±4}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 32 ku 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Vydeľte číslo 36 číslom 6.

$$x=6$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{32±4}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4 od čísla 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{28}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Odčítajte hodnotu 84 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Výsledkom odčítania čísla 84 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Vydeľte číslo -84 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Číslo -\frac{32}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{16}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{16}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{16}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Prirátajte -28 ku \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Prirátajte \frac{16}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$