Vyriešiť 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 3 výrazom a, -11 výrazom b a -4 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±13}{6}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Ak má byť výsledok súčinu záporný, výrazy x-4 a x+\frac{1}{3} musia mať opačné znamienka. Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x-4 kladný a výraz x+\frac{1}{3} záporný.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Toto má hodnotu False pre každú premennú x.

$$x\in \emptyset$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak je výraz x+\frac{1}{3} kladný a výraz x-4 záporný.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$