Vyriešiť 3x^2-10x=48

$$3 x ^ { 2 } - 10 x = 48$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 48 z oboch strán.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-48. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -10 súčtu.

$$a=-18 b=8$$

Zapíšte 3x^{2}-10x-48 ako výraz \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

3x na prvej skupine a 8 v druhá skupina.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Vyberte spoločný člen x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-6=0 a 3x+8=0.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-10x=48$$

Odčítajte hodnotu 48 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}-10x-48=48-48$$

Výsledkom odčítania čísla 48 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -10 za b a -48 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Prirátajte 100 ku 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±26}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 10 ku 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

Vydeľte číslo 36 číslom 6.

$$x=6$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±26}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 26 od čísla 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-16}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x=48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

Vydeľte číslo 48 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Číslo -\frac{10}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Prirátajte 16 ku \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$