Vyriešiť 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-10. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -10.

$$-1,10 -2,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 3 súčtu.

$$a=-2 b=5$$

Zapíšte x^{2}+3x-10 ako výraz \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-2=0 a x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 9 za b a -30 za c.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Prirátajte 81 ku 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-9±21}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -9 ku 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 6.

$$x=2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-9±21}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 21 od čísla -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Vydeľte číslo -30 číslom 6.

$$x=-5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=2 x=-5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Prirátajte 30 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -30 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Odčítajte číslo -30 od čísla 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Vydeľte číslo 9 číslom 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Číslo 3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 10 ku \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Rozložte x^{2}+3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=2 x=-5$$