Vyriešiť 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Riešenie pre x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 90 z oboch strán.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Odčítajte 90 z 6 a dostanete -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-28. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 3 súčtu.

$$a=-4 b=7$$

Zapíšte x^{2}+3x-28 ako výraz \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-4=0 a x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Odčítajte hodnotu 90 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Výsledkom odčítania čísla 90 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Odčítajte číslo 90 od čísla 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 9 za b a -84 za c.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Prirátajte 81 ku 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-9±33}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -9 ku 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Vydeľte číslo 24 číslom 6.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-9±33}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 33 od čísla -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Vydeľte číslo -42 číslom 6.

$$x=-7$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=-7$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Výsledkom odčítania čísla 6 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Odčítajte číslo 6 od čísla 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Vydeľte číslo 9 číslom 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Vydeľte číslo 84 číslom 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Číslo 3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 28 ku \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte x^{2}+3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=4 x=-7$$