Vyriešiť 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-35. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 16 súčtu.

$$a=-5 b=21$$

Zapíšte 3x^{2}+16x-35 ako výraz \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-5=0 a x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 16 za b a -35 za c.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Prirátajte 256 ku 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-16±26}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -16 ku 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{10}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-16±26}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 26 od čísla -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Vydeľte číslo -42 číslom 6.

$$x=-7$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Prirátajte 35 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -35 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Odčítajte číslo -35 od čísla 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Číslo \frac{16}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{8}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{8}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{8}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Prirátajte \frac{35}{3} ku \frac{64}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Rozložte x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{8}{3} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$