Vyriešiť 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Riešenie pre x,y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 6y z oboch strán.

$$3x+9-6y=0$$

Odčítajte 9 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$3x-6y=-9$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 12 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$-2x-2y=12$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$3x-6y=-9$$

Prirátajte 6y ku obom stranám rovnice.

$$3x=6y-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom 6y-9.

$$x=2y-3$$

Dosaďte 2y-3 za x v druhej rovnici -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Vynásobte číslo -2 číslom 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Prirátajte -4y ku -2y.

$$-6y+6=12$$

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$-6y=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou -6.

$$y=-1$$

V rovnici x=2y-3 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=-2-3$$

Prirátajte -3 ku -2.

$$x=-5$$

Systém je vyriešený.

$$x=-5,y=-1$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 6y z oboch strán.

$$3x+9-6y=0$$

Odčítajte 9 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$3x-6y=-9$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 12 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$-2x-2y=12$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-5,y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 6y z oboch strán.

$$3x+9-6y=0$$

Odčítajte 9 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$3x-6y=-9$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 12 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$-2x-2y=12$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Ak chcete, aby boli členy 3x a -2x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Zjednodušte.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Odčítajte rovnicu -6x-6y=36 od rovnice -6x+12y=18 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Prirátajte -6x ku 6x. Členy -6x a 6x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$12y+6y=18-36$$

Prirátajte 12y ku 6y.

$$18y=18-36$$

Prirátajte 18 ku -36.

$$18y=-18$$

Vydeľte obe strany hodnotou 18.

$$y=-1$$

V rovnici -2x-2y=12 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Vynásobte číslo -2 číslom -1.

$$-2x+2=12$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$-2x=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$x=-5$$

Systém je vyriešený.

$$x=-5,y=-1$$