Vyriešiť 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$3x+2y=8$$

Odčítajte hodnotu 2y od oboch strán rovnice.

$$3x=-2y+8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Dosaďte \frac{-2y+8}{3} za x v druhej rovnici 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Vynásobte číslo 5 číslom \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Prirátajte -\frac{10y}{3} ku -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Odčítajte hodnotu \frac{40}{3} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{22}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=1$$

V rovnici x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Prirátajte \frac{8}{3} ku -\frac{2}{3} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Ak chcete, aby boli členy 3x a 5x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 5 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Zjednodušte.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Odčítajte rovnicu 15x-12y=18 od rovnice 15x+10y=40 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Prirátajte 15x ku -15x. Členy 15x a -15x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$10y+12y=40-18$$

Prirátajte 10y ku 12y.

$$22y=40-18$$

Prirátajte 40 ku -18.

$$22y=22$$

Vydeľte obe strany hodnotou 22.

$$y=1$$

V rovnici 5x-4y=6 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$5x-4=6$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$5x=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=1$$