Vyriešiť 3u^2-14u=5

$$3 u ^ { 2 } - 14 u = 5$$

Riešenie pre u

$$u=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$u=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$3u^{2}-14u-5=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3u^{2}+au+bu-5. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -15.

$$1,-15 3,-5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -14 súčtu.

$$a=-15 b=1$$

Zapíšte 3u^{2}-14u-5 ako výraz \left(3u^{2}-15u\right)+\left(u-5\right).

$$\left(3u^{2}-15u\right)+\left(u-5\right)$$

Vyčleňte 3u z výrazu 3u^{2}-15u.

$$3u\left(u-5\right)+u-5$$

Vyberte spoločný člen u-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(u-5\right)\left(3u+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte u-5=0 a 3u+1=0.

$$u=5 u=-\frac{1}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3u^{2}-14u=5$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$3u^{2}-14u-5=5-5$$

Výsledkom odčítania čísla 5 od seba samého bude 0.

$$3u^{2}-14u-5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -14 za b a -5 za c.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -14.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -5.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Prirátajte 196 ku 60.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$u=\frac{-\left(-14\right)±16}{2\times 3}$$

Opak čísla -14 je 14.

$$u=\frac{14±16}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$u=\frac{14±16}{6}$$

Vyriešte rovnicu u=\frac{14±16}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 14 ku 16.

$$u=\frac{30}{6}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 6.

$$u=5$$

Vyriešte rovnicu u=\frac{14±16}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla 14.

$$u=-\frac{2}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-2}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$u=-\frac{1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$u=5 u=-\frac{1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3u^{2}-14u=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3u^{2}-14u}{3}=\frac{5}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u=\frac{5}{3}$$

Číslo -\frac{14}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku \frac{49}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$u^{2}-\frac{14}{3}u+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Rozložte u^{2}-\frac{14}{3}u+\frac{49}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(u-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Zjednodušte.

$$u-\frac{7}{3}=\frac{8}{3} u-\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

Prirátajte \frac{7}{3} ku obom stranám rovnice.

$$u=5 u=-\frac{1}{3}$$