Vyriešiť 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Riešenie pre q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3q^{2}+aq+bq+16. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -19.

$$a=-16 b=-3$$

Zapíšte 3q^{2}-19q+16 ako výraz \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Vyčleňte q v prvej a -1 v druhej skupine.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Vyberte spoločný člen 3q-16 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3q-16=0 a q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -19 za b a 16 za c.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Prirátajte 361 ku -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Opak čísla -19 je 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Vyriešte rovnicu q=\frac{19±13}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 19 ku 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{32}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Vyriešte rovnicu q=\frac{19±13}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Vydeľte číslo 6 číslom 6.

$$q=1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Odčítajte hodnotu 16 od oboch strán rovnice.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Výsledkom odčítania čísla 16 od seba samého bude 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Číslo -\frac{19}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{19}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{19}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{19}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Prirátajte -\frac{16}{3} ku \frac{361}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Rozložte výraz q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Zjednodušte.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Prirátajte \frac{19}{6} ku obom stranám rovnice.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$