Vyriešiť 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Riešenie pre n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3n^{2}+an+bn-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -4.

$$a=-9 b=5$$

Zapíšte 3n^{2}-4n-15 ako výraz \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Vyčleňte 3n v prvej a 5 v druhej skupine.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Vyberte spoločný člen n-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte n-3=0 a 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -4 za b a -15 za c.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Prirátajte 16 ku 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Opak čísla -4 je 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{4±14}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 4 ku 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Vydeľte číslo 18 číslom 6.

$$n=3$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{4±14}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 14 od čísla 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Vydeľte číslo 15 číslom 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Číslo -\frac{4}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{2}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{2}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{2}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Prirátajte 5 ku \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Rozložte výraz n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku obom stranám rovnice.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$