Vyriešiť 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Riešenie pre n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Výsledkom odčítania čísla 5 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Odčítajte číslo 5 od čísla -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 47 za b a -237 za c.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Prirátajte 2209 ku 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -47 ku \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{5053} od čísla -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Prirátajte 232 ku obom stranám rovnice.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -232 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Odčítajte číslo -232 od čísla 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Vydeľte číslo 237 číslom 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Číslo \frac{47}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{47}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{47}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{47}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Prirátajte 79 ku \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Rozložte n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Zjednodušte.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{47}{6} od oboch strán rovnice.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$