Vyriešiť 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Riešenie pre n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 8 z oboch strán.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3n^{2}+an+bn-8. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 10 súčtu.

$$a=-2 b=12$$

Zapíšte 3n^{2}+10n-8 ako výraz \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

n na prvej skupine a 4 v druhá skupina.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Vyberte spoločný člen 3n-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3n-2=0 a n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3n^{2}+10n=8$$

Odčítajte hodnotu 8 od oboch strán rovnice.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Výsledkom odčítania čísla 8 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 10 za b a -8 za c.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Prirátajte 100 ku 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-10±14}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -10 ku 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-10±14}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 14 od čísla -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Vydeľte číslo -24 číslom 6.

$$n=-4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Číslo \frac{10}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Prirátajte \frac{8}{3} ku \frac{25}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Rozložte n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Zjednodušte.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{3} od oboch strán rovnice.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$