Vyriešiť 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Rozložiť na faktory

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Postup riešenia

Ak chcete výraz faktor, vyriešte rovnicu, v ktorej sa rovná 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -40 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 3. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-2$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 číslom x+2 a dostanete 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -20 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 3. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=\frac{5}{3}$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 číslom 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 a dostanete x^{2}+4. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$x^{2}+4=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 0 výrazom b a 4 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Súčtom x^{2}+4 nie je na činitele, pretože nemá žiadne racionálne korene.

$$x^{2}+4$$

Prepíšte výraz rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Vyhodnotiť

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$