Vyriešiť 3x^2-8x-15=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-15 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -8 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Prirátajte 64 ku 180.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 244.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Opak čísla -8 je 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 8 ku 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

Vydeľte číslo 8+2\sqrt{61} číslom 6.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{61} od čísla 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

Vydeľte číslo 8-2\sqrt{61} číslom 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$3x^{2}-8x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{15}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{15}{3}$$

Vydeľte číslo 15 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=5$$

Číslo -\frac{8}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{4}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{4}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{4}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Prirátajte 5 ku \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Prirátajte \frac{4}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$