Vyriešiť 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-372. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -5.

$$a=-36 b=31$$

Zapíšte 3x^{2}-5x-372 ako výraz \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Vyčleňte 3x v prvej a 31 v druhej skupine.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Vyberte spoločný člen x-12 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-12=0 a 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -5 za b a -372 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Prirátajte 25 ku 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±67}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Vydeľte číslo 72 číslom 6.

$$x=12$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±67}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 67 od čísla 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-62}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Prirátajte 372 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -372 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Odčítajte číslo -372 od čísla 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Vydeľte číslo 372 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Číslo -\frac{5}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Prirátajte 124 ku \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Prirátajte \frac{5}{6} ku obom stranám rovnice.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$