Vyriešiť 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-250. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -5 súčtu.

$$a=-30 b=25$$

Zapíšte 3x^{2}-5x-250 ako výraz \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

3x na prvej skupine a 25 v druhá skupina.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Vyberte spoločný člen x-10 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-10=0 a 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -5 za b a -250 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Prirátajte 25 ku 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±55}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Vydeľte číslo 60 číslom 6.

$$x=10$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±55}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 55 od čísla 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-50}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Prirátajte 250 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -250 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Odčítajte číslo -250 od čísla 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Číslo -\frac{5}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Prirátajte \frac{250}{3} ku \frac{25}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Prirátajte \frac{5}{6} ku obom stranám rovnice.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$