Vyriešiť 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-60. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -31 súčtu.

$$a=-36 b=5$$

Zapíšte 3x^{2}-31x-60 ako výraz \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

3x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Vyberte spoločný člen x-12 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-12=0 a 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -31 za b a -60 za c.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Prirátajte 961 ku 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Opak čísla -31 je 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{31±41}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 31 ku 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Vydeľte číslo 72 číslom 6.

$$x=12$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{31±41}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 41 od čísla 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Prirátajte 60 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -60 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Odčítajte číslo -60 od čísla 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Vydeľte číslo 60 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Číslo -\frac{31}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{31}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{31}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{31}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Prirátajte 20 ku \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Rozložte x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Prirátajte \frac{31}{6} ku obom stranám rovnice.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$