Vyriešiť 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -2 za b a -9 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Prirátajte 4 ku 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Vydeľte číslo 2+4\sqrt{7} číslom 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{7} od čísla 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Vydeľte číslo 2-4\sqrt{7} číslom 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -9 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Odčítajte číslo -9 od čísla 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Vydeľte číslo 9 číslom 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Číslo -\frac{2}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Prirátajte 3 ku \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$