Vyriešiť 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-8. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -10.

$$a=-12 b=2$$

Zapíšte 3x^{2}-10x-8 ako výraz \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Vyčleňte 3x v prvej a 2 v druhej skupine.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-4=0 a 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -10 za b a -8 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Prirátajte 100 ku 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±14}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 10 ku 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Vydeľte číslo 24 číslom 6.

$$x=4$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±14}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 14 od čísla 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Prirátajte 8 ku obom stranám rovnice.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -8 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Odčítajte číslo -8 od čísla 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Číslo -\frac{10}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Prirátajte \frac{8}{3} ku \frac{25}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$