Vyriešiť 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 138 z oboch strán.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-138. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 5 súčtu.

$$a=-18 b=23$$

Zapíšte 3x^{2}+5x-138 ako výraz \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

3x na prvej skupine a 23 v druhá skupina.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Vyberte spoločný člen x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-6=0 a 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+5x=138$$

Odčítajte hodnotu 138 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Výsledkom odčítania čísla 138 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 5 za b a -138 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Prirátajte 25 ku 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±41}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -5 ku 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Vydeľte číslo 36 číslom 6.

$$x=6$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±41}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 41 od čísla -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-46}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Vydeľte číslo 138 číslom 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Číslo \frac{5}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Prirátajte 46 ku \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Rozložte x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{6} od oboch strán rovnice.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$