Vyriešiť 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0,833333333+1,518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,518405597i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, 5 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Prirátajte 25 ku -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, keď ± je plus. Prirátajte -5 ku i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{83} od čísla -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Vydeľte číslo -9 číslom 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Číslo \frac{5}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Prirátajte -3 ku \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Rozložte x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{6} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$