Vyriešiť 3n^2-11n-874=0

$$3 { n }^{ 2 } -11n-874 = 0$$

Riešenie pre n

$$n = -\frac{46}{3} = -15\frac{1}{3} \approx -15,333333333$$

$$n=19$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3n^{2}+an+bn-874. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-11 ab=3\left(-874\right)=-2622$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -2622.

$$1,-2622 2,-1311 3,-874 6,-437 19,-138 23,-114 38,-69 46,-57$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-2622=-2621 2-1311=-1309 3-874=-871 6-437=-431 19-138=-119 23-114=-91 38-69=-31 46-57=-11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -11 súčtu.

$$a=-57 b=46$$

Zapíšte 3n^{2}-11n-874 ako výraz \left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right).

$$\left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right)$$

3n na prvej skupine a 46 v druhá skupina.

$$3n\left(n-19\right)+46\left(n-19\right)$$

Vyberte spoločný člen n-19 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(n-19\right)\left(3n+46\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte n-19=0 a 3n+46=0.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 3 za a, -11 za b a -874 za c.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Umocnite číslo -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 3.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslom -874.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+10488}}{2\times 3}$$

Prirátajte 121 ku 10488.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{10609}}{2\times 3}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 10609.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±103}{2\times 3}$$

Opak čísla -11 je 11.

$$n=\frac{11±103}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$n=\frac{11±103}{6}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{11±103}{6}, keď ± je plus. Prirátajte 11 ku 103.

$$n=\frac{114}{6}$$

Vydeľte číslo 114 číslom 6.

$$n=19$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{11±103}{6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 103 od čísla 11.

$$n=-\frac{92}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-92}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n=-\frac{46}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Prirátajte 874 ku obom stranám rovnice.

$$3n^{2}-11n-874-\left(-874\right)=-\left(-874\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -874 od seba samého bude 0.

$$3n^{2}-11n=-\left(-874\right)$$

Odčítajte číslo -874 od čísla 0.

$$3n^{2}-11n=874$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$\frac{3n^{2}-11n}{3}=\frac{874}{3}$$

Delenie číslom 3 ruší násobenie číslom 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{874}{3}$$

Číslo -\frac{11}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{874}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{874}{3}+\frac{121}{36}$$

Prirátajte \frac{874}{3} ku \frac{121}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{10609}{36}$$

Rozložte n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{10609}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10609}{36}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{103}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{103}{6}$$

Prirátajte \frac{11}{6} ku obom stranám rovnice.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$