Vyriešiť 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Riešenie pre x

$$x=6$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu 2\sqrt{7-x} od oboch strán rovnice.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 3 a dostanete 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{2x-3} a dostanete 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 9 a 2x-3.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{7-x} a dostanete 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Sčítaním 121 a 28 získate 149.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Odčítajte hodnotu 149-4x od oboch strán rovnice.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 149-4x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Odčítajte 149 z -27 a dostanete -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Skombinovaním 18x a 4x získate 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(22x-176\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -44 a dostanete 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{7-x} a dostanete 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 1936 a 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Odčítajte 13552 z oboch strán.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Odčítajte 13552 z 30976 a dostanete 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Pridať položku 1936x na obidve snímky.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Skombinovaním -7744x a 1936x získate -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 484 za a, -5808 za b a 17424 za c.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Umocnite číslo -5808.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Vynásobte číslo -1936 číslom 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Prirátajte 33732864 ku -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

Opak čísla -5808 je 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Vydeľte číslo 5808 číslom 968.

$$x=6$$

Dosadí 6 za x v rovnici 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Zjednodušte. Hodnota x=6 vyhovuje rovnici.

$$11=11$$

Rovnica 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 má jedinečné riešenie.

$$x=6$$