Vyriešiť 2x(38-2x)=180

$$2x(38-2x)=180$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{181} + 19}{2} \approx 16,226812024$$

$$x = \frac{19 - \sqrt{181}}{2} \approx 2,773187976$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x a 38-2x.

$$76x-4x^{2}=180$$

Odčítajte 180 z oboch strán.

$$76x-4x^{2}-180=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-4x^{2}+76x-180=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -4 za a, 76 za b a -180 za c.

$$x=\frac{-76±\sqrt{76^{2}-4\left(-4\right)\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Umocnite číslo 76.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776-4\left(-4\right)\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -4.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776+16\left(-180\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 16 číslom -180.

$$x=\frac{-76±\sqrt{5776-2880}}{2\left(-4\right)}$$

Prirátajte 5776 ku -2880.

$$x=\frac{-76±\sqrt{2896}}{2\left(-4\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2896.

$$x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{2\left(-4\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -4.

$$x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}, keď ± je plus. Prirátajte -76 ku 4\sqrt{181}.

$$x=\frac{4\sqrt{181}-76}{-8}$$

Vydeľte číslo -76+4\sqrt{181} číslom -8.

$$x=\frac{19-\sqrt{181}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-76±4\sqrt{181}}{-8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{181} od čísla -76.

$$x=\frac{-4\sqrt{181}-76}{-8}$$

Vydeľte číslo -76-4\sqrt{181} číslom -8.

$$x=\frac{\sqrt{181}+19}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{19-\sqrt{181}}{2} x=\frac{\sqrt{181}+19}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x a 38-2x.

$$76x-4x^{2}=180$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+76x=180$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$\frac{-4x^{2}+76x}{-4}=\frac{180}{-4}$$

Delenie číslom -4 ruší násobenie číslom -4.

$$x^{2}+\frac{76}{-4}x=\frac{180}{-4}$$

Vydeľte číslo 76 číslom -4.

$$x^{2}-19x=\frac{180}{-4}$$

Vydeľte číslo 180 číslom -4.

$$x^{2}-19x=-45$$

Číslo -19, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{19}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{19}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-19x+\left(-\frac{19}{2}\right)^{2}=-45+\left(-\frac{19}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{19}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-19x+\frac{361}{4}=-45+\frac{361}{4}$$

Prirátajte -45 ku \frac{361}{4}.

$$x^{2}-19x+\frac{361}{4}=\frac{181}{4}$$

Rozložte x^{2}-19x+\frac{361}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{2}\right)^{2}=\frac{181}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{181}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{19}{2}=\frac{\sqrt{181}}{2} x-\frac{19}{2}=-\frac{\sqrt{181}}{2}$$

Prirátajte \frac{19}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{181}+19}{2} x=\frac{19-\sqrt{181}}{2}$$