Vyriešiť 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1,583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2,806082918$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 27 za a, 33 za b a -120 za c.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Umocnite číslo 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

Vynásobte číslo -108 číslom -120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

Prirátajte 1089 ku 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, keď ± je plus. Prirátajte -33 ku 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Vydeľte číslo -33+3\sqrt{1561} číslom 54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3\sqrt{1561} od čísla -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

Vydeľte číslo -33-3\sqrt{1561} číslom 54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

Prirátajte 120 ku obom stranám rovnice.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -120 od seba samého bude 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

Odčítajte číslo -120 od čísla 0.

$$27x^{2}+33x=120$$

Vydeľte obe strany hodnotou 27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

Delenie číslom 27 ruší násobenie číslom 27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

Vykráťte zlomok \frac{33}{27} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

Vykráťte zlomok \frac{120}{27} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

Číslo \frac{11}{9}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{11}{18}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{11}{18}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{11}{18} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

Prirátajte \frac{40}{9} ku \frac{121}{324} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

Rozložte x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

Odčítajte hodnotu \frac{11}{18} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$