Vyriešiť 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 256x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -32.

$$a=-16 b=-16$$

Zapíšte 256x^{2}-32x+1 ako výraz \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Vyčleňte 16x v prvej a -1 v druhej skupine.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 16x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 256 za a, -32 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Umocnite číslo -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Prirátajte 1024 ku -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Opak čísla -32 je 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Vykráťte zlomok \frac{32}{512} na základný tvar extrakciou a elimináciou 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Delenie číslom 256 ruší násobenie číslom 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Vykráťte zlomok \frac{-32}{256} na základný tvar extrakciou a elimináciou 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Číslo -\frac{1}{8}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{16}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{16}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{16} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Prirátajte -\frac{1}{256} ku \frac{1}{256} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Prirátajte \frac{1}{16} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{1}{16}$$