Vyriešiť 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1,8+0,2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1,8-0,2i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 25 za a, -90 za b a 82 za c.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Umocnite číslo -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -100 číslom 82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

Prirátajte 8100 ku -8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

Opak čísla -90 je 90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{90±10i}{50}, keď ± je plus. Prirátajte 90 ku 10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

Vydeľte číslo 90+10i číslom 50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{90±10i}{50}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10i od čísla 90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

Vydeľte číslo 90-10i číslom 50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

Odčítajte hodnotu 82 od oboch strán rovnice.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

Výsledkom odčítania čísla 82 od seba samého bude 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

Vydeľte obe strany hodnotou 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

Delenie číslom 25 ruší násobenie číslom 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

Vykráťte zlomok \frac{-90}{25} na základný tvar extrakciou a elimináciou 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

Číslo -\frac{18}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{9}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{9}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{9}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

Prirátajte -\frac{82}{25} ku \frac{81}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

Rozložte x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Prirátajte \frac{9}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$