Vyriešiť 25x^2-60x+36=0

$$25 x ^ { 2 } - 60 x + 36 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 25x^{2}+ax+bx+36. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -60 súčtu.

$$a=-30 b=-30$$

Zapíšte 25x^{2}-60x+36 ako výraz \left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right).

$$\left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right)$$

5x na prvej skupine a -6 v druhá skupina.

$$5x\left(5x-6\right)-6\left(5x-6\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-6\right)\left(5x-6\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(5x-6\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 5x-6=0.

$$x=\frac{6}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 25 za a, -60 za b a 36 za c.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Umocnite číslo -60.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 25.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -100 číslom 36.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Prirátajte 3600 ku -3600.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-60}{2\times 25}$$

Opak čísla -60 je 60.

$$x=\frac{60}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 25.

$$x=\frac{60}{50}$$

Vykráťte zlomok \frac{60}{50} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Odčítajte hodnotu 36 od oboch strán rovnice.

$$25x^{2}-60x+36-36=-36$$

Výsledkom odčítania čísla 36 od seba samého bude 0.

$$25x^{2}-60x=-36$$

Vydeľte obe strany hodnotou 25.

$$\frac{25x^{2}-60x}{25}=-\frac{36}{25}$$

Delenie číslom 25 ruší násobenie číslom 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{25}\right)x=-\frac{36}{25}$$

Vykráťte zlomok \frac{-60}{25} na základný tvar extrakciou a elimináciou 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{36}{25}$$

Číslo -\frac{12}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{6}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{6}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{36}{25}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{6}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{-36+36}{25}$$

Prirátajte -\frac{36}{25} ku \frac{36}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=0$$

Rozložte x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{6}{5}=0 x-\frac{6}{5}=0$$

Prirátajte \frac{6}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{6}{5} x=\frac{6}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{6}{5}$$