Vyriešiť 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 25x^{2}+ax+bx+16. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je záporná, a a b sú negatívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -40.

$$a=-20 b=-20$$

Zapíšte 25x^{2}-40x+16 ako výraz \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Vyčleňte 5x v prvej a -4 v druhej skupine.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 25 za a, -40 za b a 16 za c.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Umocnite číslo -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -100 číslom 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Prirátajte 1600 ku -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Opak čísla -40 je 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Vykráťte zlomok \frac{40}{50} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Odčítajte hodnotu 16 od oboch strán rovnice.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Výsledkom odčítania čísla 16 od seba samého bude 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Delenie číslom 25 ruší násobenie číslom 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Vykráťte zlomok \frac{-40}{25} na základný tvar extrakciou a elimináciou 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Číslo -\frac{8}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{4}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{4}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{4}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Prirátajte -\frac{16}{25} ku \frac{16}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Prirátajte \frac{4}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{4}{5}$$