Vyriešiť 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 25x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -10 súčtu.

$$a=-5 b=-5$$

Zapíšte 25x^{2}-10x+1 ako výraz \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

5x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 25 za a, -10 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Prirátajte 100 ku -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Vykráťte zlomok \frac{10}{50} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=\frac{1}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

Delenie číslom 25 ruší násobenie číslom 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{25} na základný tvar extrakciou a elimináciou 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

Číslo -\frac{2}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Prirátajte -\frac{1}{25} ku \frac{1}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Prirátajte \frac{1}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{1}{5}$$