Vyriešiť 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Na rozloženie výrazu \left(4+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 25 a 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 7 a 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 35-7x a 5+x a zlúčenie podobných členov.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Sčítaním 400 a 175 získate 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Skombinovaním 25x^{2} a -7x^{2} získate 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Odčítajte 295 z oboch strán.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Odčítajte 295 z 575 a dostanete 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Pridať položku 45x^{2} na obidve snímky.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Skombinovaním 18x^{2} a 45x^{2} získate 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 63 za a, 200 za b a 280 za c.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Umocnite číslo 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Vynásobte číslo -252 číslom 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Prirátajte 40000 ku -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, keď ± je plus. Prirátajte -200 ku 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Vydeľte číslo -200+4i\sqrt{1910} číslom 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4i\sqrt{1910} od čísla -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Vydeľte číslo -200-4i\sqrt{1910} číslom 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Na rozloženie výrazu \left(4+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 25 a 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 7 a 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 35-7x a 5+x a zlúčenie podobných členov.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Sčítaním 400 a 175 získate 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Skombinovaním 25x^{2} a -7x^{2} získate 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Pridať položku 45x^{2} na obidve snímky.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Skombinovaním 18x^{2} a 45x^{2} získate 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Odčítajte 575 z oboch strán.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Odčítajte 575 z 295 a dostanete -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Vydeľte obe strany hodnotou 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Delenie číslom 63 ruší násobenie číslom 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Vykráťte zlomok \frac{-280}{63} na základný tvar extrakciou a elimináciou 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Číslo \frac{200}{63}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{100}{63}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{100}{63}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{100}{63} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Prirátajte -\frac{40}{9} ku \frac{10000}{3969} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Rozložte x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Odčítajte hodnotu \frac{100}{63} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$