Vyriešiť 24x-3x^2=45

$$24x-3 { x }^{ 2 } =45$$

Riešenie pre x

$$x=3$$

$$x=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 45 z oboch strán.

$$24x-3x^{2}-45=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$8x-x^{2}-15=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+8x-15=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=8 ab=-\left(-15\right)=15$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 15.

$$1,15 3,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+15=16 3+5=8$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 8 súčtu.

$$a=5 b=3$$

Zapíšte -x^{2}+8x-15 ako výraz \left(-x^{2}+5x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(3x-15\right)$$

-x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$-x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-5\right)\left(-x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-5=0 a -x+3=0.

$$x=5 x=3$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}+24x=45$$

Odčítajte hodnotu 45 od oboch strán rovnice.

$$-3x^{2}+24x-45=45-45$$

Výsledkom odčítania čísla 45 od seba samého bude 0.

$$-3x^{2}+24x-45=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 24 za b a -45 za c.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-3\right)\left(-45\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-45\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+12\left(-45\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom -45.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-540}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 576 ku -540.

$$x=\frac{-24±\sqrt{36}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 36.

$$x=\frac{-24±6}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-24±6}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-24±6}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -24 ku 6.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Vydeľte číslo -18 číslom -6.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-24±6}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6 od čísla -24.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Vydeľte číslo -30 číslom -6.

$$x=5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+24x=45$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+24x}{-3}=\frac{45}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{24}{-3}x=\frac{45}{-3}$$

Vydeľte číslo 24 číslom -3.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{-3}$$

Vydeľte číslo 45 číslom -3.

$$x^{2}-8x=-15$$

Číslo -8, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -4. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -4. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Umocnite číslo -4.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Prirátajte -15 ku 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Rozložte x^{2}-8x+16 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Zjednodušte.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$x=5 x=3$$