Vyriešiť 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 24x^{2}+ax+bx+15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -38 súčtu.

$$a=-20 b=-18$$

Zapíšte 24x^{2}-38x+15 ako výraz \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

4x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen 6x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 6x-5=0 a 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 24 za a, -38 za b a 15 za c.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Umocnite číslo -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo -96 číslom 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Prirátajte 1444 ku -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

Opak čísla -38 je 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{38±2}{48}, keď ± je plus. Prirátajte 38 ku 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Vykráťte zlomok \frac{40}{48} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{38±2}{48}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2 od čísla 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Vykráťte zlomok \frac{36}{48} na základný tvar extrakciou a elimináciou 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Odčítajte hodnotu 15 od oboch strán rovnice.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Výsledkom odčítania čísla 15 od seba samého bude 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

Delenie číslom 24 ruší násobenie číslom 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Vykráťte zlomok \frac{-38}{24} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Vykráťte zlomok \frac{-15}{24} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Číslo -\frac{19}{12}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{19}{24}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{19}{24}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{19}{24} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Prirátajte -\frac{5}{8} ku \frac{361}{576} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Rozložte x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Prirátajte \frac{19}{24} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$