Vyriešiť 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx+24. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 5 súčtu.

$$a=8 b=-3$$

Zapíšte -x^{2}+5x+24 ako výraz \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

-x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Vyberte spoločný člen x-8 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-8=0 a -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 5 za b a 24 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 25 ku 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±11}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -5 ku 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Vydeľte číslo 6 číslom -2.

$$x=-3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±11}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 11 od čísla -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Vydeľte číslo -16 číslom -2.

$$x=8$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-3 x=8$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Odčítajte hodnotu 24 od oboch strán rovnice.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Výsledkom odčítania čísla 24 od seba samého bude 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Vydeľte číslo 5 číslom -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Vydeľte číslo -24 číslom -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Číslo -5, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Prirátajte 24 ku \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte x^{2}-5x+\frac{25}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Prirátajte \frac{5}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=8 x=-3$$