Vyriešiť 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 23 za a, 11 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Umocnite číslo 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Vynásobte číslo -92 číslom 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Prirátajte 121 ku -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}, keď ± je plus. Prirátajte -11 ku i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{707} od čísla -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Delenie číslom 23 ruší násobenie číslom 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Číslo \frac{11}{23}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{11}{46}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{11}{46}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{11}{46} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Prirátajte -\frac{9}{23} ku \frac{121}{2116} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Rozložte x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Odčítajte hodnotu \frac{11}{46} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$