Vyriešiť 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 20 za a, -28 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Umocnite číslo -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -80 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Prirátajte 784 ku 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Opak čísla -28 je 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, keď ± je plus. Prirátajte 28 ku 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Vydeľte číslo 28+12\sqrt{6} číslom 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 12\sqrt{6} od čísla 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Vydeľte číslo 28-12\sqrt{6} číslom 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Delenie číslom 20 ruší násobenie číslom 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{-28}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Číslo -\frac{7}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Prirátajte \frac{1}{20} ku \frac{49}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Prirátajte \frac{7}{10} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$