Vyriešiť 20n^2-98n=-48

$$20 n ^ { 2 } - 98 n = - 48$$

Riešenie pre n

$$n = \frac{\sqrt{1441} + 49}{20} \approx 4,34802529$$

$$n=\frac{49-\sqrt{1441}}{20}\approx 0,55197471$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$20n^{2}-98n=-48$$

Prirátajte 48 ku obom stranám rovnice.

$$20n^{2}-98n-\left(-48\right)=-48-\left(-48\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -48 od seba samého bude 0.

$$20n^{2}-98n-\left(-48\right)=0$$

Odčítajte číslo -48 od čísla 0.

$$20n^{2}-98n+48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 20 za a, -98 za b a 48 za c.

$$n=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 20\times 48}}{2\times 20}$$

Umocnite číslo -98.

$$n=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 20\times 48}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 20.

$$n=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-80\times 48}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -80 číslom 48.

$$n=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-3840}}{2\times 20}$$

Prirátajte 9604 ku -3840.

$$n=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{5764}}{2\times 20}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 5764.

$$n=\frac{-\left(-98\right)±2\sqrt{1441}}{2\times 20}$$

Opak čísla -98 je 98.

$$n=\frac{98±2\sqrt{1441}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 20.

$$n=\frac{98±2\sqrt{1441}}{40}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{98±2\sqrt{1441}}{40}, keď ± je plus. Prirátajte 98 ku 2\sqrt{1441}.

$$n=\frac{2\sqrt{1441}+98}{40}$$

Vydeľte číslo 98+2\sqrt{1441} číslom 40.

$$n=\frac{\sqrt{1441}+49}{20}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{98±2\sqrt{1441}}{40}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{1441} od čísla 98.

$$n=\frac{98-2\sqrt{1441}}{40}$$

Vydeľte číslo 98-2\sqrt{1441} číslom 40.

$$n=\frac{49-\sqrt{1441}}{20}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{\sqrt{1441}+49}{20} n=\frac{49-\sqrt{1441}}{20}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$20n^{2}-98n=-48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 20.

$$\frac{20n^{2}-98n}{20}=-\frac{48}{20}$$

Delenie číslom 20 ruší násobenie číslom 20.

$$n^{2}+\left(-\frac{98}{20}\right)n=-\frac{48}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{-98}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n^{2}-\frac{49}{10}n=-\frac{48}{20}$$

Vykráťte zlomok \frac{-48}{20} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$n^{2}-\frac{49}{10}n=-\frac{12}{5}$$

Číslo -\frac{49}{10}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{49}{20}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{49}{20}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-\frac{49}{10}n+\left(-\frac{49}{20}\right)^{2}=-\frac{12}{5}+\left(-\frac{49}{20}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{49}{20} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-\frac{49}{10}n+\frac{2401}{400}=-\frac{12}{5}+\frac{2401}{400}$$

Prirátajte -\frac{12}{5} ku \frac{2401}{400} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}-\frac{49}{10}n+\frac{2401}{400}=\frac{1441}{400}$$

Rozložte n^{2}-\frac{49}{10}n+\frac{2401}{400} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{49}{20}\right)^{2}=\frac{1441}{400}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{49}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1441}{400}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{49}{20}=\frac{\sqrt{1441}}{20} n-\frac{49}{20}=-\frac{\sqrt{1441}}{20}$$

Prirátajte \frac{49}{20} ku obom stranám rovnice.

$$n=\frac{\sqrt{1441}+49}{20} n=\frac{49-\sqrt{1441}}{20}$$