Vyriešiť 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 20x^{2}+ax+bx-1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -1 súčtu.

$$a=-5 b=4$$

Zapíšte 20x^{2}-x-1 ako výraz \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Vyčleňte 5x z výrazu 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Vyberte spoločný člen 4x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 4x-1=0 a 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 20 za a, -1 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo -80 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Prirátajte 1 ku 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±9}{40}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Vykráťte zlomok \frac{10}{40} na základný tvar extrakciou a elimináciou 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±9}{40}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 9 od čísla 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Vykráťte zlomok \frac{-8}{40} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Delenie číslom 20 ruší násobenie číslom 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Číslo -\frac{1}{20}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{40}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{40}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{40} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Prirátajte \frac{1}{20} ku \frac{1}{1600} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Rozložte x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Prirátajte \frac{1}{40} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$