Vyriešiť 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Riešenie pre x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-600. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 10.

$$a=-20 b=30$$

Zapíšte x^{2}+10x-600 ako výraz \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Vyčleňte x v prvej a 30 v druhej skupine.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Vyberte spoločný člen x-20 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-20=0 a x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 25 za a, 250 za b a -15000 za c.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Umocnite číslo 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo -100 číslom -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Prirátajte 62500 ku 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-250±1250}{50}, keď ± je plus. Prirátajte -250 ku 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Vydeľte číslo 1000 číslom 50.

$$x=20$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-250±1250}{50}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 1250 od čísla -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Vydeľte číslo -1500 číslom 50.

$$x=-30$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=20 x=-30$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Prirátajte 15000 ku obom stranám rovnice.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15000 od seba samého bude 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Odčítajte číslo -15000 od čísla 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Vydeľte obe strany hodnotou 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Delenie číslom 25 ruší násobenie číslom 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Vydeľte číslo 250 číslom 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Vydeľte číslo 15000 číslom 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Číslo 10, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 5. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 5. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Umocnite číslo 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Prirátajte 600 ku 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Rozložte výraz x^{2}+10x+25 na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Zjednodušte.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$x=20 x=-30$$