Vyriešiť 2x(1-x)+1-x<0

$$2 x ( 1 - x ) + 1 - x < 0$$

Riešenie pre x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x a 1-x.

$$2x-2x^{2}+1-x<0$$

Skombinovaním 2x a -x získate x.

$$x-2x^{2}+1<0$$

Vynásobte nerovnosť číslom -1 tak, aby bol koeficient najvyššej mocniny vo výraze x-2x^{2}+1 kladný. Vzhľadom na to, že hodnota -1 je záporná, smer znaku nerovnosti sa zmení.

$$-x+2x^{2}-1>0$$

Ak chcete nerovnosť vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory. Kvadratický mnohočlen možno rozložiť na faktory použitím transformácie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pričom x_{1} a x_{2} sú riešeniami kvadratickej rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$-x+2x^{2}-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 2 výrazom a, -1 výrazom b a -1 výrazom c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±3}{4}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Zapíšte nerovnosť pomocou získaných riešení.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

Ak má byť výsledok súčinu kladný, výrazy x-1 a x+\frac{1}{2} musia byť oba kladné alebo oba záporné. Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-1 a x+\frac{1}{2} záporné.

$$x-1<0 x+\frac{1}{2}<0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Zvážte, aký bude výsledok, ak sú oba výrazy x-1 a x+\frac{1}{2} kladné.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1>0$$

Riešenie, ktoré platí pre obe nerovnosti, je x>1.

$$x>1$$

Konečné riešenie získame kombináciou oboch získaných riešení.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>1$$