Vyriešiť 2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup riešenia

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -15 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 2. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=3$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 číslom x-3 a dostanete 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 5 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 2. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=\frac{1}{2}$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 2x^{3}-x^{2}-10x+5 číslom 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 a dostanete x^{2}-5. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{2}-5=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 0 výrazom b a -5 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}-5=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$