Vyriešiť 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2x^{2}+ax+bx-14. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -3.

$$a=-7 b=4$$

Zapíšte 2x^{2}-3x-14 ako výraz \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Vyčleňte x v prvej a 2 v druhej skupine.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-7=0 a x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -3 za b a -14 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Prirátajte 9 ku 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Opak čísla -3 je 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±11}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 3 ku 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{14}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±11}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 11 od čísla 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Vydeľte číslo -8 číslom 4.

$$x=-2$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Prirátajte 14 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -14 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Odčítajte číslo -14 od čísla 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Vydeľte číslo 14 číslom 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Číslo -\frac{3}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Prirátajte 7 ku \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Prirátajte \frac{3}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$