Vyriešiť 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 28 z oboch strán.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Odčítajte 28 z -12 a dostanete -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-20. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -1.

$$a=-5 b=4$$

Zapíšte x^{2}-x-20 ako výraz \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Vyčleňte x v prvej a 4 v druhej skupine.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-5=0 a x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Odčítajte hodnotu 28 od oboch strán rovnice.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Výsledkom odčítania čísla 28 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Odčítajte číslo 28 od čísla -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -2 za b a -40 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Prirátajte 4 ku 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±18}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Vydeľte číslo 20 číslom 4.

$$x=5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±18}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 18 od čísla 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Vydeľte číslo -16 číslom 4.

$$x=-4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=5 x=-4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Prirátajte 12 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -12 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Odčítajte číslo -12 od čísla 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Vydeľte číslo -2 číslom 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Vydeľte číslo 40 číslom 2.

$$x^{2}-x=20$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 20 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Rozložte výraz x^{2}-x+\frac{1}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=5 x=-4$$