Vyriešiť 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, -2 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Prirátajte 4 ku 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Vydeľte číslo 2+2\sqrt{3} číslom 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{3} od čísla 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Vydeľte číslo 2-2\sqrt{3} číslom 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Prirátajte 1 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -1 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Odčítajte číslo -1 od čísla 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Vydeľte číslo -2 číslom 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku \frac{1}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$