Vyriešiť 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 2x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 7 súčtu.

$$a=-3 b=10$$

Zapíšte 2x^{2}+7x-15 ako výraz \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-3=0 a x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 2 za a, 7 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Umocnite číslo 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo -8 číslom -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Prirátajte 49 ku 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±13}{4}, keď ± je plus. Prirátajte -7 ku 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{6}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-7±13}{4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Vydeľte číslo -20 číslom 4.

$$x=-5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Delenie číslom 2 ruší násobenie číslom 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Číslo \frac{7}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Prirátajte \frac{15}{2} ku \frac{49}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Rozložte x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{4} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$